【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)试探究函数在定义域内是否存在零点,若存在,请指出有几个零点;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)若,且
在
上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,函数
的单调增区间为
;当
时,函数
的单调增区间为
,单调减区间为
.(2)见解析(3)
【解析】试题分析:(Ⅰ) 求出,分两种种情况讨论
的范围,在定义域内,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(Ⅱ)利用导数研究函数的单调性,结合函数图象可得:当
时,函数
有两个不同的零点;当
时,函数
有且仅有一个零点;当
时,函数
无零点;(Ⅲ)分两种情况讨论,当
时,不合题意,当
时,由(Ⅰ)知,函数
在
单调递增,则
在
恒成立,
,从而可得结果.
试题解析:(Ⅰ)由所以
,
①当时,则
有
,函数
在区间
单调递增;
②当时,
,
所以函数的单调增区间为
,单调减区间为
,
综合①②的当时,函数
的单调增区间为
;
当时,函数
的单调增区间为
,单调减区间为
.
(Ⅱ)函数定义域为
,
又,
令,
则,
所以,
故函数在
上单调递减,在
上单调递增,
所以.
由(Ⅰ)知当时,对
,有
,
即,
所以当且
趋向0时,
趋向
,随着
的增长,
的增长速度越来越快,会超过并远远大于
的增长速度,而
的增长速度则会越来越慢,故当
且
趋向
时,
趋向
,得到函数
的草图如图所示,
①当时,函数
有两个不同的零点;
②当时,函数
有且仅有一个零点;
③当时,函数
无零点.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知当时,
,故对
,
先分析法证明: ,
要证,
只需证,
即证,
构造函数),
所以,
故函数在
单调递增,
,
则成立,
①当时,由(Ⅰ)知,函数
在
单调递增,则
在
恒成立,
②当时,由(Ⅰ)知,函数
在
单调递增,在
单调递减,
故当时,
,所以
,则不满足题意,
综合①②得,满足题意的实数的取值范围
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(其中
),
(其中
为自然对数的底数).
(1)若曲线在
处的切线与直线
垂直,求
的单调区间和极值;
(2)若对任意,总存在
使得
成立,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数
.
(1)若函数在
上是增函数,求正数
的取值范围;
(2)当时,设函数
的图象与x轴的交点为
,
,曲线
在
,
两点处的切线斜率分别为
,
,求证:
+
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,某部门从年龄在岁到
岁的人群中随机调查了
人,并得到如图所示的频率分布直方图,在这
人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如图所示:
年龄 | 不支持“延迟退休年龄政策”的人数 |
(1)由频率分布直方图,估计这人年龄的平均数;
(2)根据以上统计数据填写下面的列联表,据此表,能否在犯错误的概率不超过
的前提下,认为以
岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异?
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
不支持 | |||
支持 | |||
总计 |
附:
参考数据:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知,
为常数,函数
.
(1)当时,求关于
的不等式
的解集;
(2)当时,若函数
在
上存在零点,求实数
的取值范围;
(3)对于给定的,且
,
,证明:关于
的方程
在区间
内有一个实数根.
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