Question

已知z=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），z₁，z₂∈C，定义：D（z）=ⅡzⅡ=|a|+|b|，D（z₁，z₂）=Ⅱz₁-z₂Ⅱ．给出下列命题：
（1）对任意z∈C，都有D（z）＞0；
（2）若

.

z

是复数z的共轭复数，则D（

.

z

）=D（z）恒成立；
（3）若D（z₁）=D（z₂）（z₁，z₂∈C），则z₁=z₂；
（4）（理科）对任意z₁，z₂，z₃∈C，结论D（z₁，z₃）≤D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）恒成立．
其中真命题是

 

．

Answer 1

考点：复数的基本概念

专题：数系的扩充和复数

分析：（1）取z=0，则D（z）=|0|+|0|=0，即可判断出正误；
（2）由于D（

.

z

）=D（z）=|a|+|b|恒成立，即可判断出正误；
（3）取z₁=1+3i，z₂=3+i，满足D（z₁）=D（z₂）（z₁，z₂∈C），但是z₁≠z₂，即可判断出正误；
（4）对任意z_k=a_k+b_ki∈C，（a_k，b_k∈R，k=1，2，3），可得D（z₁，z₃）=|a₁-a₃+（b₁-b₃）i|=|a₁-a₃|+|b₁-b₃|，D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）=|a₁-a₂|+|b₁-b₂|+|a₂-a₃|+|b₂-b₃|．利用绝对值不等式的性质即可判断出正误．

解答： 解：（1）取z=0，则D（z）=|0|+|0|=0，因此不是真命题；
（2）若

.

z

是复数z的共轭复数，则D（

.

z

）=D（z）=|a|+|b|恒成立，是真命题；
（3）取z₁=1+3i，z₂=3+i，满足D（z₁）=D（z₂）（z₁，z₂∈C），但是z₁≠z₂，因此是假命题；
（4）（理科）对任意z_k=a_k+b_ki∈C，（a_k，b_k∈R，k=1，2，3），
则D（z₁，z₃）=|a₁-a₃+（b₁-b₃）i|=|a₁-a₃|+|b₁-b₃|，
D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）=|a₁-a₂|+|b₁-b₂|+|a₂-a₃|+|b₂-b₃|．
∵|a₁-a₃|+|b₁-b₃|=|（a₁-a₂）+（a₂-a₃）|+|（b₁-b₂）+（b₂-b₃）|≤|a₁-a₂|+|b₁-b₂|+|a₂-a₃|+|b₂-b₃|．
∴D（z₁，z₃）≤D（z₁，z₂）+D（z₂，z₃）恒成立，是真命题．
其中真命题是（2）（4）．
故答案为：（2）（4）．

点评：本题复数的运算法则、模的计算公式、绝对值不等式的性质、新定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．