Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 向量 =（Sn ， 1）， =（2n﹣1， ），满足条件 ∥ ，
（1）求数列{an}的通项公式，
（2）设函数f（x）=（ ）x ， 数列{bn}满足条件b1=1，f（bn+1）= ．
①求数列{bn}的通项公式，
②设cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由向量 =（Sn，1）， =（2n﹣1， ）， ∥ ，

可得 Sn=2n﹣1，即Sn=2n+1﹣2，

当n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n+1﹣2）﹣（2n﹣2）=2n，

当n=1时，a1=S1=2，满足上式．

则有数列{an}的通项公式为an=2n，n∈N*

（2）解：①f（x）=（ ）x，b1=1，f（bn+1）= ．

可得 = =（ ） ，

即有bn+1=bn+1，可得{bn}为首项和公差均为1的等差数列，

即有bn=n；

②Cn= = ，前n项和Tn=1 +2（ ）2+…+（n﹣1）（ ）n﹣1+n（ ）n，

Tn=1（ ）2+2（ ）3+…+（n﹣1）（ ）n+n（ ）n+1，

相减可得， Tn= +（ ）2+…+（ ）n﹣1+（ ）n﹣n（ ）n+1

= ﹣n（ ）n+1，

化简可得，前n项和Tn=2﹣

【解析】（1）运用向量共线的坐标表示，可得Sn=2n+1﹣2，再由当n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， n=1时，a1=S1 ， 即可得到所求通项公式；（2）①运用指数的运算性质和等差数列的定义，即可得到所求通项公式；②求得Cn= = ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．