Question

定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当时x＞0，f（x）＞0．
（1）求证：f（x）为奇函数；
（2）求证：f（x）在R上为增函数；
（3）若f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先利用特殊值法，求证f（0）=0，令y=-x即可求证；
（2）由（1）得f（x）为奇函数，f（-x）=-f（x），利用定义法进行证明；
（3）由（2）中函数的奇偶性及已知中函数的单调性，可将不等式f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0具体化，利用换元法，转化为一个关于k的二次不等式，解不等式即可得到k的取值范围．

解答： 解：（1）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数
（2）∵f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数；
设-∞＜x₁＜x₂＜+∞，
∵x＞0，f（x）＞0．
∴f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x）在R上为增函数；
（3）若f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0
∴f（k3^x）＜-f（3^x-9^x-2）=f（-3^x+9^x+2）
又函数f（x）是R上的增函数
∴k3^x＜-3^x+9^x+2
即（3^x）²-（k+1）3^x+2＞0
令t=3^x，则t＞0
故已知条件可化为t²-（k+1）t+2＞0在（0，+∞）上恒成立
即k+1＜t+

2

t

，t+

2

t

≥2

2

解得k＜2

2

-1
∴a的取值范围是（-∞，-1+2

2

）

点评：本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．