Question

11．已知函数$f（x）={log_a}\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）当x∈（a-2，n）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得f（-x）+f（x）=0，化简求解m即可．
（2）利用$f（x）={log_a}\frac{1+x}{x-1}$，通过换元法，结合当x₁＞x₂＞1时，判断函数的单调性，当a＞1时，当0＜a＜1时，判断函数的单调性．
（3）求出函数f（x）的定义域，通过0＜a＜1．f（x）在（a-2，n）为增函数，列出方程，a＞1，列出方程求解即可．

解答 解：（1）由已知条件得f（-x）+f（x）=0对定义域中的x均成立．
∴${log_a}\frac{mx+1}{-x-1}+{log_a}\frac{1-mx}{x-1}=0$，
即$\frac{mx+1}{-x-1}•\frac{1-mx}{x-1}=1$…（1分）
∴m²x²-1=x²-1对定义域中的x均成立．m²=1，即m=1（舍去）或m=-1．…（3分）
（2）由（1）得$f（x）={log_a}\frac{1+x}{x-1}$，设$t=\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}$，
∴当x₁＞x₂＞1时，${t_1}-{t_2}=\frac{2}{{{x_1}-1}}-\frac{2}{{{x_2}-1}}=\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{（{x_1}-1）（{x_2}-1）}}$，∴t₁＜t₂．…（4分）
当a＞1时，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．…（5分）
∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．…（6分）
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．…（7分）
（3）∵函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
∴①a-2＜n≤-1，∴0＜a＜1．∴f（x）在（a-2，n）为增函数，要使值域为（1，+∞），
有$\left\{\begin{array}{l}\frac{1+n}{n-1}=0\\ \frac{1+（a-2）}{（a-2）-1}=a\end{array}\right.$解得：n=-1，$a=2-\sqrt{3}$（$a=2+\sqrt{3}$不符题意，舍去）…（9分）
?1≤a-2＜n∈Z，∴a＞2．∴f（x）在（a-2，n）为减函数，要使值域为（1，+∞），
有$\left\{\begin{array}{l}\frac{1+n}{n-1}=a\\ a-2=1\end{array}\right.$解得：n=2，a=3…（11分）
综上n=-1，$a=2-\sqrt{3}$或n=2，a=3…（12分）

点评 本题考查函数与方程的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．