Question

18．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AC的中点，求证：
（1）DB⊥面ACC₁A₁     
 （2）B₁C∥面A₁BD．

Answer 1

分析 （1）欲证明直线与平面垂直，可以先证明直线与直线垂直，由AA₁⊥DB，BD⊥AC可得BD⊥平面ACC₁A₁．
（2）连接AB₁交A₁B于O，则O为AB₁的中点，连接OD，证明OD∥B₁C，即可证明结论．

解答 证明：（1）∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥平面ABCD，
∴AA₁⊥DB．
∵△ABC为正三角形，D是AC的中点，
∴BD⊥AC，
∵AA₁∩AC=A，
∴DB⊥面ACC₁A₁     
 （2）连接AB₁交A₁B于O，则O为AB₁的中点，连接OD．
在△AB₁C中，OD为中位线，∴OD∥B₁C，
∵OD?面A₁BD，B₁C?面A₁BD，
∴B₁C∥面A₁BD．

点评 本题考查直线与平面平行、垂直的证明，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．