Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），点D（-2，0）为椭圆C的左顶点，点D与椭圆C的短轴端点的距离为$\sqrt{5}$，过点M（1，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在直线l，使得$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MB}$，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意，a=2，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，可得b=1，即可求出椭圆C的标准方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MB}$，则y₂=-3y₁，设直线AB的方程为x=my+1，代入椭圆方程可得（m²+4）y²+2my-3=0，利用韦达定理，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，a=2，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴b=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MB}$，则y₂=-3y₁，①
设直线AB的方程为x=my+1，代入椭圆方程可得（m²+4）y²+2my-3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$②，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$③，
由①③可得3y₁²=$\frac{3}{{m}^{2}+4}$，由①②可得-2y₁=-$\frac{2m}{{m}^{2}+4}$，
消去y₁得m²=m²+4，不成立，
∴不存在直线l，使得$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{MB}$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．