Question

3．设f₀（x）=cosx，${f_1}（x）=f_0^/（x）$，${f_2}（x）=f_1^/（x）$，…，${f_{n+1}}（x）=f_n^/（x）$（n∈N），则f₂₀₁₆（x）=cosx．

Answer 1

分析 求出f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，f₃（x）=f₂′（x）=sinx，f₄（x）=f₃′（x）=cosx…从第五项开始，f_n（x）的解析式重复出现，每4次一循环，由此能求出f₂₀₁₆（x）的值

解答 解：∵设f₀（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x）（n∈N），
∴∵f₀（x）=cosx，
∴f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，
f₃（x）=f₂′（x）=sinx，
f₄（x）=f₃′（x）=cosx
…
从第五项开始，f_n（x）的解析式重复出现，每4次一循环．
∴f₂₀₁₆（x）=f_4×504（x）=f₀（x）=cosx，
故答案为：cosx

点评 本题考查导数性质的应用，是中档题，解题时要认真审，注意三角函数性质的合理运用．