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    已知梯形中，∥，，   ，、分别是、上的点，∥，，是的中点.沿将梯形翻折，使平面⊥平面 (如图) . (Ⅰ) 当时，求证：⊥ ；

    (Ⅱ) 若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；

    (Ⅲ)当取得最大值时，求二面角的余弦值.


    解:（Ⅰ）作于，连，　　

    由平面平面知  平面

    而平面，故又四边形

    为正方形             ∴　 

    又，故平面　　

    而平面    ∴　 .     

    （Ⅱ） ∵　，面面   ∴ 面

    又由（Ⅰ）平面   ∴          

    所以 ＝

          

    即时有最大值为．

    （Ⅲ）设平面的法向量为

    ∵  ,，，  ∴   

    则     即取   则    ∴    面的一个法向量为 则<>  

    由于所求二面角的平面角为钝角

    所以，此二面角的余弦值为－.  


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