Question

19．已知函数f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-5，5]上是单调函数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=-1时，配方得到f（x）=（x-1）²+1，从而可以看出x=1时f（x）取最小值，而x=-5时取最大值，这样便可得出f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）可以求出f（x）的对称轴为x=-a，而f（x）在[-5，5]上是单调函数，从而可以得出-a≤-5，或-a≥5，这样便可得出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）a=-1，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1；
∵x∈[-5，5]；
∴x=1时，f（x）取最小值1；
x=-5时，f（x）取最大值37；
（Ⅱ）f（x）的对称轴为x=-a；
∵f（x）在[-5，5]上是单调函数；
∴-a≤-5，或-a≥5；
∴实数a的取值范围为（-∞，-5]∪[5，+∞）．

点评 考查配方求二次函数最大、最小值的方法，二次函数的对称轴，以及二次函数的单调性．