Question

6．已知三棱锥P-ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，PA=PB=BC=3，O是AB中点，E是PB中点．
（1）证明：平面PAB⊥平面ABC；
（2）求点B到平面OEC的距离．

Answer 1

分析 （1）连结PO，推导出PO⊥AB，AC⊥BC，PO⊥OC．从而PO⊥平面ABC，由此能证明平面PAB⊥平面ABC．
（2）推导出$OE=\frac{3}{2}$，OC⊥AB，从而OC⊥平面PAB，进而OC⊥OE．设点B到平面OEC的距离为d，由V_B-OEC=V_E-OBC，能求出点B到平面OEC的距离．

解答 证明：（1）连结PO，在△PAB中，PA=PB，O是AB中点，
∴PO⊥AB，
又∵AC=BC=2，AC⊥BC，∴$AB=2\sqrt{2}，OB=OC=\sqrt{2}$．
∵PA=PB=BC=3，∴$PO=\sqrt{7}$，PC²=PO²+OC²，
∴PO⊥OC．
又AB∩OC=O，AB?平面ABC，OC?平面ABC，
∴PO⊥平面ABC，
∵PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．
解：（2）∵OE是△PAB的中位线，∴$OE=\frac{3}{2}$．
∵O是AB中点，AC=BC，∴OC⊥AB．
又平面PAB⊥平面ABC，两平面的交线为AB，∴OC⊥平面PAB，
∵OE?平面PAB，∴OC⊥OE．
设点B到平面OEC的距离为d，则V_B-OEC=V_E-OBC，
∴$\frac{1}{3}×{S_{△OEC}}•d=\frac{1}{3}×{S_{△OBC}}×\frac{1}{2}OP$，
∴点B到平面OEC的距离：
$d=\frac{{{S_{△OBC}}•\frac{1}{2}OP}}{{{S_{△OEC}}}}=\frac{{\frac{1}{2}OB•OC•\frac{1}{2}OP}}{{\frac{1}{2}OE•OC}}=\frac{{\sqrt{14}}}{3}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．