Question

19．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：ρ=4sinθ
（1）直线l的参数方程化为极坐标方程；
（2）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析 （1）直线l的参数方程化为普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入化为极坐标方程；
（2）求出曲线C的化为普通方程，与直线方程联立，求得直角坐标方程，再求直线l与曲线C交点的极坐标．

解答 解：（1）将直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}t}\\{y=2+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t，
化为普通方程：x-$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$=0；               …（2分）
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入上述方程得：ρcosθ-$\sqrt{3}$ρsinθ+2$\sqrt{3}$=0．…（4分）
（2）将曲线C的化为普通方程得：x²+y²-4y=0．…（6分）
由直线与圆方程联立解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=3}\end{array}\right.$    …（8分）
所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为：（2，$\frac{5π}{6}$），（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{3}$）．…（10分）

点评 本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查学生的计算能力，属于中档题．