Question

7．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且2sin²$\frac{A+C}{2}$+cos2B=1．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，求y=a+c的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosB+2cos²B-1=0，进而解得cosB的值，结合范围B∈（0，π），即可得解B的值．
（Ⅱ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得y=a+c=4sin（A+$\frac{π}{6}$），求得范围$\frac{π}{6}$$＜A＜\frac{π}{2}$，利用正弦函数的性质可得sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，进而可求y=a+c的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）由2sin²$\frac{A+C}{2}$+cos2B=1，
有1-cos（A+C）+cos2B=1．
∴cosB+2cos²B-1=0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$或cosB=-1，
又B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）由正弦定理$\frac{b}{sinB}=2R=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴y=a+c=2RsinA+2RsinC
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$（sinA+sinC）…（8分）
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$[sinA+sin（$\frac{2π}{3}$-A）]
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$[$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$）]
=4sin（A+$\frac{π}{6}$）．…（10分）
而c=$\frac{2π}{3}$-A$＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$$＜A＜\frac{π}{2}$，
∴sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴y=4sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（2$\sqrt{3}$，4]．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，正弦函数的图象和性质的在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．