Question

17．设a∈Z，且0≤a＜13，若51²⁰¹⁶+a能被13整除，则a=12．

Answer 1

分析 由于51²⁰¹⁶+a=（52-1）²⁰¹⁶+a，按二项式定理展开，根据题意可得${C}_{2016}^{2016}$•（-1）²⁰¹⁶+a 能被13整除，再由0≤a＜13，确定出a的值．

解答 解：51²⁰¹⁶+a=（52-1）²⁰¹⁶+a
=${C}_{2016}^{0}$•52²⁰¹⁶+${C}_{2016}^{1}$•52²⁰¹⁵•（-1）¹+${C}_{2016}^{2}$•52²⁰¹⁴•（-1）²+…+${C}_{2016}^{2016}$•（-1）²⁰¹⁶+a，
除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，
故由题意可得${C}_{2016}^{2016}$•（-1）²⁰¹⁶+a能被13整除，
∵0≤a＜13，
∴a=12，
故答案为：12

点评 此题考查了二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，熟练掌握二项式定理是解本题的关键．