Question

8．已知函数f（x）=ln（a^x+b）（a＞0且a≠1）是R上的奇函数，则不等式f（x）＞alna的解集是（　　）

• A． （a，+∞）
• B． （-∞，a）
• C． 当a＞1时，解集是（a，+∞）；当0＜a＜1时，解集是（-∞，a）
• D． 当a＞1时，解集是（-∞，a）；当0＜a＜1时，解集是（a，+∞）

Answer 1

分析 利用奇函数的性质可得：f（0）=0，解得b=0．可得f（x）=xlna．则不等式f（x）＞alna，即为：（x-a）lna＞0．对a分类讨论即可得出．

解答 解：函数f（x）=ln（a^x+b）（a＞0且a≠1）是R上的奇函数，
∴f（0）=ln（1+b）=0，解得b=0．
∴f（x）=xlna．则不等式f（x）＞alna，即为：（x-a）lna＞0．
∴不等式转化为$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{x＞a}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{x＜a}\end{array}\right.$，
故选：C．

点评 本题考查了函数的奇偶性、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．