Question

20．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），当x∈[3，4]时，f（x）=2^x，则下列不等式中正确的是（　　）

• A． f（sin$\frac{1}{2}$）＜f（cos$\frac{1}{2}$）
• B． f（sin$\frac{π}{3}$）＞f（cos$\frac{π}{3}$）
• C． f（sin1）＜f（cos1）
• D． f（cos$\frac{3}{2}$）＜f（sin$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 确定偶函数f（x）在（-1，0）上是增函数，f（x）在（0，1）上是减函数，即可得出结论．

解答 解：x∈[3，4]时，f（x）=2^x，故偶函数f（x）在[3，4]上是增函数，
又定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）=f（x+2），故函数的周期是2
所以偶函数f（x）在（-1，0）上是增函数，
所以f（x）在（0，1）上是减函数，
对于A，sin$\frac{1}{2}$＜cos$\frac{1}{2}$，∴f（sin$\frac{1}{2}$）＞f（cos$\frac{1}{2}$），
对于B，sin$\frac{π}{3}$＞cos$\frac{π}{3}$，∴f（sin$\frac{π}{3}$）＜f（cos$\frac{π}{3}$）；
对于C，sin1＞cos1，∴，f（sin1）＜f（cos1）；
对于D，-cos$\frac{3}{2}$＞sin$\frac{3}{2}$，∴f（-cos$\frac{3}{2}$）＞f（sin$\frac{3}{2}$），∴f（cos$\frac{3}{2}$）＞f（sin$\frac{3}{2}$），
故选：C．

点评 本题考查函数的周期性与函数的单调性比较大小，构思新颖，属于中档题．