Question

【题目】给定数列，对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.

（1）设数列为3，4，7，5，2，写出，，，的值；

（2）设是，公比的等比数列，证明：成等比数列；

（3）设，证明：的充分必要条件为是公差为的等差数列.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）可根据题意来逐步代入计算；（2）根据a1＞0，公比q＞1，可判断出数列{an}是一个单调递增的等比数列，则可逐步代入Ai与Bi的值进行计算，再证明出d1，d2，d3，…dn﹣1成等比数列．（3）先证充分性：因为m>0可得单增，则，可得；再证必要性，先利用反证法说明数列中不存在使，则可说明，，则得，从而证得结论.

（1）由题意，可知：

①当i＝1时，A1＝3，B1＝2，d1＝A1﹣B1＝3﹣2＝1；

②当i＝2时，A2＝4，B2＝2，d2＝A2﹣B2＝4﹣2＝2；

③当i＝3时，A3＝7，B3＝2，d3＝A3﹣B3＝7﹣2＝5；

④当i＝4时，A4＝7，B4＝2，d4＝A4﹣B4＝7﹣2＝5．

（2）由题意，可知：

∵a1＞0，公比q＞1，

∴数列{an}是一个单调递增的等比数列．

∴①当i＝1时，A1＝a1，B1＝a2，d1＝A1﹣B1＝a1﹣a2＝a1（1﹣q）；

②当i＝2时，A2＝a2，B2＝a3，d2＝A2﹣B2＝a2﹣a3＝a1（1﹣q）q；

③当i＝3时，A3＝a3，B3＝a4，d3＝A3﹣B3＝a3﹣a4＝a1（1﹣q）q2；

…

∴对，

.

因此且 ，

∴为首项为a1（1﹣q），公比为q的等比数列．

（3）充分性：若是公差为的等差数列，则，

因为，，，

，.

必要性：若，．

假设是第一个使的项，

则，这与相矛盾，故∴ ，即，故是公差为的等差数列．