Question

13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，则$\frac{c}{b}+\frac{b}{c}$取得最大值时，内角A的值为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 利用三角形面积公式和余弦定理可得$\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinA+2cosA=\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$，由三角函数恒等变换的应用化简可得$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}（sinA+\sqrt{3}cosA）=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（A+\frac{π}{3}）$，利用正弦函数的图象和性质即可求解．

解答 解：在△ABC中，由题意得：$\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}a×a=\frac{1}{2}×bcsinA⇒\frac{{\sqrt{3}}}{2}{a^2}=bcsinA$，
由余弦定理得：${a^2}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}bcsinA={b^2}+{c^2}-2bccosA$，
所以$\frac{2}{{\sqrt{3}}}sinA+2cosA=\frac{b}{c}+\frac{c}{b}$，
即$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=\frac{2}{{\sqrt{3}}}（sinA+\sqrt{3}cosA）=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin（A+\frac{π}{3}）$，
所以当$A=\frac{π}{6}$时，$\frac{c}{b}+\frac{b}{c}$取得最大值．
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式和余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．