Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为直角梯形，其中，，，，，，点在棱上且，点为棱的中点.

在棱上且，点位棱的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值的大小.

Answer 1

【答案】(1)见解析.

(2) .

【解析】分析：第一问结合面面垂直的判定定理，寻找图中的垂直的条件，最后归结为线线垂直，在证明线线垂直时，勾股定理也是一个不错的方法，再者就是对二面角的余弦值的求解过程中，利用空间向量来解决，注意对法向量的方向进行分析得出其补角还是其本身是二面角，从而确定是其本身还是其相反数.

详解：（1）在中，由，得，

同理在中，由，得，

所以，即（亦可通过勾股定理来证明）

在中，

在，

所以，即

（2）由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，得：

，，，，，

，，

设平面的法向量为

则：

不妨设，则

设平面的法向量为

则，

不妨设，则

记二面角为（应为钝角）

故二面角的余弦值为.