Question

已知函数f（x）=x-2m2+m+3(m∈Z)是增函数，也是偶函数
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：幂函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）根据指数函数为增函数，得到指数的取值范围，再利用函数为偶函数和整数条件，得到m的值，从而求出f（x）的解析式，得到本题结论；（2）可以先将g（x）在区间[2，3]上的最大值问题转化为内函数h（x）=x²-ax在区间上的最值问题，通过分类讨论，研究二次函数在区间上的值域，得到本题结论．

解答： 解：（1）由条件知幂函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)在（0，+∞）上为增函数，
∴-2m²+m+3＞0，
∴-1＜m＜

3

2

，
又m∈Z，
∴m=0或1．
当m=0时，f（x）=x³，不满足f（x）为偶函数；
当m=1时，f（x）=x²，满足f（x）为偶函数；
∴f（x）=x²．
（2）g(x)=loga(x2-ax)，
令h（x）=x²-ax，
由h（x）＞0得：x∈（-∞，0）∪（a，+∞），
∵g（x）在[2，3]上有定义，
∴0＜a＜2且a≠1，
∴h（x）=x²-ax在[2，3]上为增函数．
1°当1＜a＜2时，g_max=g（3）=log_a（9-3a）=2，
∴a2+3a-9=0⇒a=

-3±3 5

2

∵1＜a＜2，∴a=

-3+3 5

2

；
2°当0＜a＜1时，g_max=g（2）=log_a（4-2a）=2，
∴a2+2a-4=0⇒a=-1±

5

，
∵0＜a＜1，
∴此种情况不存在，
综上，存在实数a=

-3+3 5

2

，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2．

点评：本题考查了函数的单调性、奇偶性、值域，还考查了分类讨论的数学思想，本题难度不大，属于基础题．