Question

如图，已知在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m至点C处，测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10

3

m至点D处，测得顶端A的仰角为4θ，则建筑物AE的高为

 

m．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：由题意及仰角的定义，利用数形结合的思想，利用图形中角与角的联系，求出θ=15°，即可得出结论．

解答： 解：由已知BC=30m，CD=10

3

m，∠ABE=θ，∠ACE=2θ，∠ADE=4θ，
在Rt△ABE中，BE=AEcotθm，
在Rt△ACE中，CE=AEcot2θm，
∴BC=BE-CE=AE（cotθ-cot2θ）m，
同理可得：CD=AE（cot2θ-cot4θ）m，
∴

BC

CD

=

AE(cotθ-cot2θ)

AE(cot2θ-cot4θ)

，
即

cotθ-cot2θ

cot2θ-cot4θ

=

3

，
而cotθ-cot2θ=

cosθ

sinθ

-

cos2θ

sin2θ

=

cosθsin2θ-sinθcos2θ

sinθsin2θ

=

1

sin2θ

；
同理可得cot2θ-cot4θ=

cos2θ

sin2θ

-

cos4θ

sin4θ

=

cos2θsin4θ-sin2θcos4θ

sin2θsin4θ

=

1

sin4θ

，
∴

sin4θ

sin2θ

=2cos2θ=

3

，
∴cos2θ=

3

2

，结合题意可知：2θ=30°，θ=15°，
∴AE=

BC

cotθ-cot2θ

=BCsin2θ=15m．
故答案为：15

点评：此题属于解三角形题型，涉及的知识有：锐角三角函数定义，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．