Question

若等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d≠0，从{a_n}中抽取部分项按照原来的顺序组成一个新数列{b_n}，已知{b_n}为等比数列，且b₁=a₂，b₂=a₅，b₃=a₁₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，若b_m=a_k，求S_k-T_m，（结果用只含m的式子表示）．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的应用

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）写出等差数列的通项公式，代入b22=b1b3求得d，则数列{a_n}和{b_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）分别写出数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，结合b_m=a_k得到k与m的关系，作差后得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得a52=a2•a14，即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），d≠0，解得d=2．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．
又∵b₁=a₂=3，b₂=a₅，=9，
∴公比q=3，{b_n}的通项公式为bn=3n；
（Ⅱ）数列{a_n}的前k和为Sk=k+

k(k-1)

2

×2=k2．
数列{b_n}的前m和为Tm=

3-3m+1

1-3

=

3m+1-3

2

．
由b_m=a_k得3^m=2k-1，
∴k=

3m+1

2

．
∴Sk=k2=

9m+2×3m+1

4

．
∴所求的和为S=Sk-Tm=

9m-4×3m+7

4

．

点评：本题主要考查等差等比数列、以及数列的前n项和式等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力，是中档题．