Question

在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的斜边BC恰在x轴上，点B（-2，0），C（2，0），且AD为BC边上的高．
（1）求AD中点G的轨迹方程；
（2）若过点（1，0）的直线l与（1）中G的轨迹交于两不同点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使

PE

•

QE

恒为定值λ？若存在，求出点E的坐标及实数λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）设G（x，y），则A（x，2y），结合B，C的坐标求得

AB

，

AC

的坐标，代入

AB

•

AC

=0求得AD中点G的轨迹方程；
（2）假定存在定点E（m，0），使

PE

•

QE

恒为定值，由于轨迹方程中的y≠0，故直线l不可能为x轴，于是可设直线l的方程为x=ky+1，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，利用根与系数关系结合

PE

•

QE

恒为定值λ列关于m，λ的方程组，求得λ的值得答案．

解答： 解：（1）设G（x，y），则A（x，2y），而B（-2，0），C（2，0），
∴

AB

=(-2-x，-2y)，

AC

=(2-x，-2y)．
由

AB

•

AC

=0，得

x2

4

+y2=1(y≠0)，即为中点G的轨迹方程；
（2）假定存在定点E（m，0），使

PE

•

QE

恒为定值．
由于轨迹方程中的y≠0，故直线l不可能为x轴，
于是可设直线l的方程为x=ky+1，且设点P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
将x=ky+1代入

x2

4

+y2=1(y≠0)，得（k²+4）y²+2ky-3=0．
显然△＞0，
y3+y4=-

2k

k2+4

，y3y4=-

3

k2+4

．
∵

EP

=(x3-m，y3)，

EQ

=(x4-m，y4)，
则

EP

•

EQ

=x3x4-m(x3+x4)+m2+y3y4
=(1+k2)y3y4+k(1-m)(y3+y4)+m2-2m+1
=

(m2-4)k2+4m2-8m+1

k2+4

．
若存在定点E（m，0），使

(m2-4)k2+4m2-8m+1

k2+4

=λ为定值（λ与k值无关），
则必有

m2-4=λ 4m2-8m+1=4λ

，解得m=

17

8

，λ=

33

64

．
∴在x轴上存在定点E（

17

8

，0），使

PE

•

QE

恒为定值

33

64

．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了平面向量的数量积运算，体现了“设而不求”的数学解题思想方法，是压轴题．