已知F1是椭圆C1:y2a2+x2b2=1与抛物线C2:x2=4y共同的焦点.M是C1与C2在第二象限的交点.且|MF1|=53．(1)试求椭圆C1的方程,(2)已知点P是椭圆C1上的动点.GH是圆x2+(y+1)2=1的直径.试求PG•PH的最大值,(3)与圆x2+(y+1)2=1相切的直线l:y=k交椭圆于A.B两点.若椭圆上的点P满足OA+OB=λOP.求实数λ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知F₁是椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）与抛物线C₂：x²=4y共同的焦点，M是C₁与C₂在第二象限的交点，且|MF₁|=

．
（1）试求椭圆C₁的方程；
（2）已知点P是椭圆C₁上的动点，GH是圆x²+（y+1）²=1的直径，试求

•

的最大值；
（3）与圆x²+（y+1）²=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A、B两点，若椭圆上的点P满足

=λ

，求实数λ的取值范围．

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用抛物线的方程和定义即可求出点M的坐标，再利用椭圆的定义即可求出；
（2）根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径，可得k=

1-t2

，联立直线与椭圆方程，结合椭圆上一点P满足

•

=λ

=(x1+x2，y1+y2)，可得到λ²的表达式，进而求出实数λ的取值范围．

解答： 解：（1）由已知F₁（0，1），
∴a²-b²=1，①
设M（x₀，y₀），（x₀＜0），
则|MF₁|=y0+1=

，解得y0=

，x02=4y0=

，
∴

9a2

3b2

=1．②
由①②得a²=4，b²=3．
故椭圆的方程为

=1．
（2）由题意，圆过原点，设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
∵GH是圆的直径，
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
设P（x₃，y₃），则

=(x1-x3，y1-y3)，

=(x2-x3，y2-y3)，
∴

•

=x1x2+y1y2-x3(x1+x2)-y3(y1+y2)+x32+y32；
又GH的中心是（0，-1），
∴x₁+x₂=0，y₁+y₂=-2，而

x32

y32

=1，
∴x32=3-

y32，
∴

•

y32+2y3+3=

(y3+4)2-1，
又∵-2≤y₃≤2，
∴当y₃=2时，

•

最大，并且最大值为8．
（3）∵直线l：y=k（x+t），（t≠0）与圆x²+（y+1）²=1相切，
∴

|kt+1|

1+k2

=1⇒k=

1-t2

，（t≠0）．③
将直线y=k（x+t）代入椭圆方程，整理得
（4+3k²）x²+6k²tx+3k²t²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

6k2t

4+3k2

，y1+y2=k（x₁+t）+k（x₂+t）=k（x₁+x₂）+2kt=

8kt

4+3k2

，
∵

•

=λ

=(x1+x2，y1+y2)，
∴P（-

6k2t

(4+3k2)λ

，

8kt

(4+3k2)λ

），
又P在椭圆

=1上，
∴

12k4t2

(4+3k2)2λ2

16k2t2

(4+3k2)2λ2

=1，解得λ2=

4k2t2

4+3k2

，
将③代入整理得：λ2=

(

)2+

（t≠0）
∴0＜λ²＜4，
∴λ的取值范围是（-2，0）∪（0，2）．

点评：熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、向量相等、直线与圆锥曲线的相交问题及根与系数的关系是解题的关键．本题需要较强的计算能力，注意分类讨论的思想方法应用．

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