Question

已知函数f（x）=

ax

1+x2

（a≠0），当a＜0，且函数在[-1，1]上的值域为[-3，3]，求a．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：求f′（x），根据f′（x）的符号判断函数f（x）在[-1，1]上的单调性，根据单调性即可求f（x）在[-1，1]上的值域，根据已知的值域[-3，3]即可求出a．

解答： 解：f′（x）=

a(1+x2)-ax•2x

(1+x2)2

=

a(1-x2)

(1+x2)2

；
x∈[-1，1]时，1-x²≥0，又a＜0；
∴f′（x）≤0
∴函数f（x）在[-1，1]上单调递减；
∴函数f（x）的值域为：[f（1），f（-1）]=[

a

2

，-

a

2

]=[-3，3]；
∴

a

2

=-3，∴a=-6．

点评：考查根据导数符号判断函数单调性的方法，以及根据函数单调性求函数的值域．