Question

已知函数f（x）的定义域为R，且对任意的实数x满足f（2+x）=f（2-x），若x≥2时，f（x）=2^x
（1）求f（0），f（-1）的值，并求f（x）的解析式．
（2）当x∈[-1，t]，求函数f（x）的最大值．
（3）解关于x的不等式f（x+3）＞f（3x-1）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意得函数的图象关于直线x=2对称，继而求出f（0），f（-1）的值和f（x）的解析式．
（2）需要分类讨论，当-1＜t＜5时，和当t≥5时，再根据函数的单调性求得最值．
（3）由（1）原不等式转化为|x+3-2|＞|3x-1-2|，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（2+x）=f（2-x），
∴函数的图象关于直线x=2对称，
∴f（0）=f（4）=16，f（-1）=f（5）=32
当x＜2时，f（x）=f（4-x）=2^4-x，
所以f(x)=

24-x，x＜2 2x，x≥2

，
（2）当-1＜t＜5时，f（x）_max=f（-1）=32，
当t≥5时，函数f（x）为增函数，故f（x）_max=f（t）=2^t，
（3）由（1）可知，不等式f（x+3）＞f（3x-1）转化为
即解|x+3-2|＞|3x-1-2|，
两边平方整理得2x²-5x+2＜0，
解得x∈(

1

2

，2)

点评：本题主要考查了函数的解析式的求法和利用函数的单调性求最值以及不等式的解法，属于中档题．