Question

已知f（x）=log₂（2-x）-log₂（2+x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）试判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（3）求不等式f（x）＞1的解集．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数的定义域及其求法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的定义，列出关于自变量x的不等式组，求出f（x）的定义域；
（2）由函数奇偶性的定义，判定f（x）在定义域上的奇偶性；
（3）化简f（x），根据对数函数的单调性以及定义域，求出不等式f（x）＞1的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）=log₂（2-x）-log₂（2+x），
∴

2-x＞0 2+x＞0

，解得-2＜x＜2；
∴f（x）的定义域是（-2，2）；
（2）∵f（-x）=log₂（2+x）-log₂（2-x）
=-[log₂（2-x）-log₂（2+x）]
=-f（x），
∴f（x）是定义域（-2，2）上的奇函数；
（3）∵f（x）=log₂（2-x）-log₂（2+x）
=log₂

2-x

2+x

＞1，
∴

-2＜x＜2 2-x 2+x ＞2

，
解得-2＜x＜-

2

3

；
∴不等式f（x）＞1的解集是（-2，-

2

3

）．

点评：本题考查了求对数函数的定义域以及判定函数的奇偶性，利用函数的单调性求不等式的解集问题，是基础题．