Question

已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设抛物线C与直线y=x-b相交于不同于原点的两点A，B，若OA⊥OB，求b．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意设抛物线方程为y²=2px（p＞0），利用P（4，m）到焦点的距离等于其到准线的距离，根据抛物线的定义，即可求抛物线C的方程；
（2）直线方程与抛物线方程联立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用x₁x₂+y₁y₂=0即可求b．

解答： 解：（1）由题意设抛物线方程为y²=2px（p＞0），其准线方程为x=-

p

2

，
∵P（4，m）到焦点的距离等于其到准线的距离，
∴4+

p

2

=5，
∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
抛物线C与直线y=x-b联立，消去x得y²-2by-4b=0，
∴y₁y₂=-4b，∴x₁x₂=b²，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=b²-4b=0，
∵b≠0，
∴b=4．

点评：本题主要考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理、向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．