Question

已知函数f（x）=

3

sin（

πx

3

-

π

3

﹚-1．
（1）求函数最小正周期及单调递增区间；
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，求当x∈[0，1]时，函数y=g（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数f（x）的解析式求得它的周期，令2kπ-

π

2

≤

π

3

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．
（2）当x∈[0，1]时，函数y=g（x）的最大值，即为x∈[3，4]时，函数y=f（x）的最大值．再根据x∈[3，4]时，利用正弦函数的定义域和值域求得，f（x）的最大值．

解答： 解：（1）对于函数f（x）=

3

sin（

πx

3

-

π

3

﹚-1，它的周期为T=

2π

π 3

=6，
令2kπ-

π

2

≤

π

3

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得6k-

1

2

≤x≤6k+

5

2

，故函数的增区间为[6k-

1

2

，6k+

5

2

]．
（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=2对称，
故当x∈[0，1]时，函数y=g（x）的最大值，即为x∈[3，4]时，函数y=f（x）的最大值．
再根据x∈[3，4]时，

πx

3

-

π

3

∈[

2π

3

，π]，故当

πx

3

-

π

3

=

2π

3

时，f（x）=

3

sin（

πx

3

-

π

3

﹚-1取得最大值为

3

×

3

2

-1=

1

2

．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，现了化归与转化的数学思想，属于中档题．