Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点P（3，f（3））处的切线方程；
（2）求函数的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=2时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线y=f（x）在点P（3，f（3））处的切线方程；
（2）求函数的导数，讨论a的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数的单调区间．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=

1

3

x³-x²，
则函数的导数为f′（x）=x²-2x，
则曲线y=f（x）在点P（3，f（3））处的切线斜率k=f′（3）=9-6=3，
f（3）=0，即曲线y=f（x）在点P（3，0）处的切线方程为y-0=3（x-3），
即y=3x-9；
（2）函数的导数为f′（x）=x²-ax=x（x-a），
若a=0，则f′（x）=x²≥0，此时函数单调递增，递增区间为R，
若a＞0，由f′（x）＞0解得x＞a或x＜0，此时函数单调递增，递增区间为（a，+∞）和（-∞，0），
由f′（x）＜0，解得0＜x＜a，此时函数单调递减，递减区间为（0，a），
若a＜0，由f′（x）＞0解得x＞0或x＜a，此时函数单调递增，递增区间为（0，+∞）和（-∞，a），
由f′（x）＜0，解得a＜x＜0，此时函数单调递减，递减区间为（a，0）．

点评：本题主要考查函数的切线的求解，利用导数的几何意义以及函数单调性与导数之间的关系是解决本题的关键．