Question

已知函数f（x）=ln（x+

1

x

），且f（x）在x=

1

2

处的切线方程为y=g（x）
（Ⅰ）求y=g（x）的解析式；
（Ⅱ）证明：当x＞0时，恒有f（x）≥g（x）；
（Ⅲ）证明：若a_i＞0（1≤i≤n，i，n∈N^*），且

n

i=1

ai=1，则（a₁+

1

a1

）（a₂+

1

a2

）…（a_n+

1

an

）≥（

n2+1

n

）ⁿ．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数，可得切线的斜率，即可求y=g（x）的解析式；
（Ⅱ）令t（x）=f（x）-g（x），确定其单调性，求出最小值，即可证明结论；
（Ⅲ）先求出f（x）在（

1

n

，ln（n+

1

n

））处的切线方程，再证明：f（x）≥

n-n3

1+n2

x-

1-n2

1+n2

+ln（n+

1

n

），即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=ln（x+

1

x

），
∴f′（x）=

x2-1

x3+x

，f（

1

2

）=-ln

5

2

，
∴f′（

1

2

）=-

6

5

∴f（x）在x=

1

2

处的切线方程为y-ln

5

2

=-

6

5

（x-

1

2

）
即y=g（x）的解析式g（x）=-

6

5

x+

3

5

+ln

5

2

；
（Ⅱ）证明：令t（x）=f（x）-g（x）=ln（x+

1

x

）+

6

5

x-

3

5

-ln

5

2

（x＞0），
∴t′（x）=

(x- 1 2 )(6x2+8x+10)

5(x3+x)

，
∴（0，

1

2

）上，t′（x）＜0；x＞

1

2

，t′（x）＞0，∴t（x）_min=t（

1

2

）=0，
∴t（x）≥0，即当x＞0时，恒有f（x）≥g（x）；
（Ⅲ）证明：先求出f（x）在（

1

n

，ln（n+

1

n

））处的切线方程，
∵f′（

1

n

）=

n-n3

1+n2

，
∴f（x）在（

1

n

，ln（n+

1

n

））处的切线方程为y-ln（n+

1

n

）=

n-n3

1+n2

（x-

1

n

），
即y=

n-n3

1+n2

x-

1-n2

1+n2

+ln（n+

1

n

）．
下证明：f（x）≥

n-n3

1+n2

x-

1-n2

1+n2

+ln（n+

1

n

）．
令h（x）=ln（x+

1

x

）-

n-n3

1+n2

x+

1-n2

1+n2

-ln（n+

1

n

），则
h′（x）=

(x- 1 n )[(n3-n)x2+2n2x+n3+n]

(x3+x)(n2+1)

∵0＜x＜

1

n

，∴h′（x）＜0，x＞

1

n

，h′（x）＞0，
∴h（x）_min=h（

1

n

）=0，
∴f（x）≥

n-n3

1+n2

x-

1-n2

1+n2

+ln（n+

1

n

）．
∵a_i＞0，∴ln（a_i+

1

ai

）≥

n-n3

1+n2

•a_i-

1-n2

1+n2

+ln（n+

1

n

）．
∴

n

i=1

ln（a_i+

1

ai

）≥

n-n3

1+n2

•

n

i=1

ai-n•

1-n2

1+n2

+nln（n+

1

n

）=nln（n+

1

n

∴（a₁+

1

a1

）（a₂+

1

a2

）…（a_n+

1

an

）≥（

n2+1

n

）ⁿ．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．