Question

设{a_n}是等比数列，首项为a，公比为q，前n项和为S_n，记T_n=a₁²+a₂²+…+a_n²．
（1）若a₁=1，S₃=3，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若S_n=-

1

2

a_n+3，求证：S_2n=

2

3

T_n；
（3）计算：

lim

n→∞

Sn

Tn

．

Answer 1

考点：数列的极限,数列的求和

专题：计算题,综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a₁=1，S₃=3求出等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得答案；
（2）由S_n=-

1

2

a_n+3求出等比数列的前两项，求出公比，然后求出S_2n和T_n，则结论得证；
（3）对q分类求出S_n、T_n，作比后可得数列极限．

解答： （1）解：∵a₁=1，S₃=3，
∴（1+q+q²）=3，解得：q=1或q=-2．
∴a_n=1或an=(-2)n-1；
（2）证明：由S_n=-

1

2

a_n+3，知a₁=2．
当n=2时，a1+a2=-

1

2

a2+3，解得：a2=

2

3

．
即{a_n}是2为首项，

1

3

为公比的等比数列，
S_2n=

2(1- 1 32n )

1- 1 3

=3(1-

1

32n

)．
T_n=a₁²+a₂²+…+a_n²=

4(1- 1 32n )

1- 1 9

=

9

2

(1-

1

32n

)．
∴S_2n=

2

3

T_n；
（3）解：显然q≠0．
当q=1时，S_n=na，T_n=na²．

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

a=a；
当q≠1时，Sn=

a(1-qn)

1-q

，
T_n=a₁²+a₂²+…+a_n²=

a2(1-q2n)

1-q2

．

Sn

Tn

=

1+q

a(1+qn)

．
当|q|＞1时，

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

1+q

a(1+qn)

=0；
当|q|＜1时，

lim

n→∞

Sn

Tn

=

lim

n→∞

1+q

a(1+qn)

=

1+q

a

．

点评：本题考查了等比数列的和，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了数列极限的求法，是中档题．