Question

公安机关交通管理部门规定，获取《机动车驾驶证》必须依次参加交管部门组织的“理论”“倒桩”“考场”和“路考”四个科目的考试，前一科目考试合格才能参加后一科目考试，且每个科目考试都合格才能获得驾驶证．已知某人参加考试能一次性通过各科目的概率均为

4

5

，且各科目考试能否通过互不影响．
（1）求该人进入“路考”科目考试且该科目考试不合格的概率；
（2）求该人至多进入“倒桩”科目考试的概率；
（3）设ξ表示该人通过的考试科目总数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）分别记该人通过“理论”“倒桩”“考场”和“路考”科目考试概率为A₁，A₂，A₃，A₄，则该人进入“路考”科目考试且该科目考试不合格的概率为P=P（A₁A₂A₃

.

A4

），由此能求出结果．
（2）该人至多进入“考场”科目考试的概率为：P（

.

A1

）+P(A1

.

A2

），由此能求出结果．
（3）由题意知ξ=0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）分别记该人通过“理论”“倒桩”“考场”和“路考”科目考试概率为A₁，A₂，A₃，A₄，
则该人进入“路考”科目考试且该科目考试不合格的概率为
P=P（A₁A₂A₃

.

A4

）=

4

5

×

4

5

×

4

5

×(1-

4

5

)=

64

625

．
（2）该人至多进入“考场”科目考试的概率为：
P（

.

A1

）+P(A1

.

A2

）=

1

5

+

4

5

×

1

5

=

9

25

．
（3）由题意知ξ=0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=P（

.

A1

）=

1

5

，
P（ξ=1）=P（A1

.

A2

）=

4

5

×

1

5

=

4

25

，
P（ξ=2）=P（A₁A₂

.

A3

）=

4

5

×

4

5

×

1

5

=

16

125

，
P（ξ=3）=P（A1A2A3

.

A4

）=

4

5

×

4

5

×

4

5

×

1

5

=

64

625

，
P（ξ=4）=

4

5

×

4

5

×

4

5

×

4

5

=

256

625

．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 5	4 25	16 125	64 625	256 625

Eξ=1×

4

25

+2×

16

125

+3×

64

625

+4×

256

625

=

1476

625

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题．