Question

已知函数f（x）=ax⁴+bx³，（其中a、b为常数），当x=

3

4

时，取得极值-

27

256

．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（k，﹢∞﹚上为增函数，求k的最小值；
（3）设点M（-

1

2

，-p²+pq+

1

8

﹚，对任意p∈[1，

9

8

]，过点M总可以做函数y=f（x）图象的四条切线，求q的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由f′（

3

4

）=0和f（

3

4

）=-

27

256

解得a和b的值，从而求出f（x）的解析式；
（2）由f（x）在（k，﹢∞﹚上为增函数，得f′（x）≥0恒成立，求出k的取值范围；
（3）由题意，过M点有4条切线，得到切线斜率切线过MP的斜率

x04-x03+p2-pq- 1 8

x0+ 1 2

=x02(4x0-3)，整理得到关于x₀的四次方程，还原为t的二次方程，构造二次函数，使得有两个正的零点，得到关于p，q的不等式，因为p的范围已知，分离变量，求q的范围．

解答： 解：（1）f′（x）=4ax³+3bx²=（4ax+3b）x²
∴

f′( 3 4 )= 9 16 (4a× 3 4 +3b)=0 f( 3 4 )=a×( 3 4 )4+b×( 3 4 )3=- 27 256

化简得

a+b=0 3a+4b=-1

解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x⁴-x³；
（2）f′（x）=4x³-3x²=x²（4x-3），
当x＞

3

4

时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜

3

4

时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∵f（x）在（k，﹢∞﹚上为增函数，∴k≥

3

4

，即k的取值范围为[

3

4

，+∞）；
（3）由（1）知：f（x）=x⁴-x³ ，f′（x）=4x³-3x²，设切点为P（x0，x04-x03），切线过MP的斜率

x04-x03+p2-pq- 1 8

x0+ 1 2

=x02(4x0-3)，
整理得3x04-

3

2

x02=p2-pq-

1

8

，
设t=x02，则上式为3t2-

3

2

t=p2-pq-

1

8

，
设f（t）=3t2-

3

2

t-(p2-pq-

1

8

)，
∵对任意p∈[1，

9

8

]，过点M总可以做函数y=f（x）图象的四条切线，
∴f（t）=0有两个正根，
∴

p2-pq- 1 8 ＞0 △= 9 4 -12(p2-pq- 1 8 )

，
整理得p-

1

8p

＜q＜p+

1

16q

，p∈[1，

9

8

]，

73

72

＜q＜

17

16

，

点评：本题考查了利用导数求函数的极值、单调区间以及切线方程等知识的综合运用，属于难题．