Question

试用综合法或分析法证明：已知a＞b＞c，求证：

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：证明题

分析：证法一：（分析法）从结论入手，为了证明

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0，逐步分析使结论成立的充分条件，直到条件具备即可；
证法二：（综合法）从已知入手，利用不等式的性质，由a＞b＞c⇒a-c＞a-b＞0，b-c＞0⇒

1

a-b

＞

1

a-c

，

1

b-c

＞0，再进一步即可证得结论成立．

解答： 证法一：（分析法）
为了证明

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0，
只需要证明

1

a-b

+

1

b-c

＞

1

a-c

，…（2分）
∵a＞b＞，c∴a-c＞a-b＞0，b-c＞0，…（4分）
∴

1

a-b

＞

1

a-c

，

1

b-c

＞0．…（8分）
∴

1

a-b

+

1

b-c

＞

1

a-c

成立．…（10分）
∴

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0成立．…（12分）
证法二：（综合法）
∵a＞b＞c，
∴a-c＞a-b＞0，b-c＞0．
∴

1

a-b

＞

1

a-c

，

1

b-c

＞0．
∴

1

a-b

+

1

b-c

＞

1

a-c

．
∴

1

a-b

+

1

b-c

+

1

c-a

＞0．（类比给分）

点评：本题考查不等式的证明，着重考查综合法与分析法的应用，熟练地掌握综合法与分析法是关键，考查推理证明能力，属于中档题．