Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率

3

2

，且过焦点与长轴垂直的弦长为1．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AB|=

3

2

，O为坐标原点，是否存在直线l，使得△OAB面积最大？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率

3

2

，且过焦点与长轴垂直的弦长为1，可得

c

a

=

3

2

，

2b2

a

=1，求出a，b，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）分类讨论，斜率存在时，设AB：y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，求出三角形的面积，利用基本不等式，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率

3

2

，且过焦点与长轴垂直的弦长为1，
∴

c

a

=

3

2

，

2b2

a

=1，
∴a=2，b=1，
∴椭圆的方程为

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）设存在直线l，斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
设AB：y=kx+m，代入椭圆方程可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
则x₁+x₂=-

8km

1+4k2

，x₁x₂=

4(m2-1)

1+4k2

，
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+k2

•

16(1+4k2-m2) (1+4k2)2

=

3

2

，
∴m²=1+4k²-

9

64

•

(1+4k2)2

1+k2

，
原点O到AB的距离为h=

|m|

1+k2

，
∵S_△OAB=

1

2

|AB|h，
∴S_△OAB²=

9

16

•

m2

1+k2

=

9

16

[

1+4k2

1+k2

-

9

64

•

(1+4k2)2

(1+k2)2

]，
令t=

1+4k2

1+k2

=4-

3

1+k2

∈[1，4），
∴S_△OAB²=

9

16

[

16

9

-

9

64

（t-

32

9

）²]，
∴t=

32

9

，即k=±

23

2

时，S的最大值为1，
直线l的斜率不存在时，S=

3 7

8

＜1，
∴存在满足条件的直线l，方程为y=

23

2

x-2

3

或y=-

23

2

x+2

3

．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．