Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PA=AB，G为PD中点，E在AB上，平面PEC⊥平面PCD．
（1）求证：AG⊥平面PCD；
（2）求证：AG∥平面PEC；
（3）试问在棱AD上是否存在点H，使得二面角H-PC-E的大小为60°？若存在，请确定点H的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由AG⊥PD，CD⊥AG证明AG⊥平面PCD．（2）取PC的中点F，连接FG，EF．AG∥平面PEC；（3）取AD的中点H，连接HG，则∠HFE是二面角H-PC-E的平面角；
可证∠HFE=60°．

解答： 解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，PA=AB，
∴PA=AB=AD，
又∵G为PD中点，
∴AG⊥PD；
∵PA⊥平面ABCD；∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AG，
∴AG⊥平面PCD；
（2）取PC的中点F，连接FG，EF．
则GF∥AE，且GF=AE；
则四边形AEFG是平行四边形，
则AG∥EF，
∴AG∥平面PEC
（3）取AD的中点H，连接HG，则∠HFE是二面角H-PC-E的平面角；
则设PA=a，则
PE²=a²+（

a

2

）²，
PC=

3

a，
则EF=

PE2-( PC 2 )2

=

5a2 4 - 3a2 4

=

2 a

2

；
同理得，HF=

2 a

2

；
又∵EH=

( a 2 )2+( a 2 )2

 =

2 a

2

；
∴△EFH为等边三角形，
则∠HFE=60°
故存在H，H是AD的中点．

点评：本题考查了线面垂直的判定，线面平行的判定，及二面角的做法，属于中档题．