Question

已知函数f（x）=

2

x

-x
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）用定义证明f（x）在（0，+∞）上为减函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出函数的定义域，然后利用f（-x）=-f（x）得到函数的奇偶性；
（2）直接利用函数单调性的定义证明．

解答： （1）解：函数f（x）=

2

x

-x的定义域为{x|x≠0}，
又f（-x）=

2

-x

+x=-(

2

x

-x)=-f(x)．
∴f（x）是奇函数；   
（2）证明：设x₁，x₂是（0，+∞）上的任意两数，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

2

x1

-x1-

2

x2

+x2
=

2(x2-x1)

x1x2

+(x2-x1)
=(x2-x1)(1+

2

x1x2

)．
∵x₁＞0，x₂＞0且x₁＜x₂，
∴(x2-x1)(1+

2

x1x2

)＞0
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．

点评：本题考查了函数奇偶性的判断方法，考查了函数单调性的证明，是基础题．