Question

为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只老鼠做试验，将这200只老鼠随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A（称为A组），另一组注射药物B（称为B组），则A，B两组老鼠皮肤疱疹面积（单位：mm²）的频数分布表、频率分布直方图分别如下．

疱疹面积	[60，65）	[65，70）	[70，75）	[75，80）
频数	20	50	20	10

（Ⅰ）为方便A，B两组试验对比，现都用分层抽样方法从A，B两组中各挑出20只老鼠，求A，B两组皮肤疱疹面积同为[60，65）的这一区间应分别挑出几只？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，将A，B两组挑出的皮肤疱疹面积同为[60，65）这一区间上的老鼠放在一起观察，几天后，从中抽取两只抽血化验，记B组中被抽中的只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由A组频数分布表可知，A组中[60，65）这一小组的频数为20，由B组频率分布直方图可知，B组中[60，65）这一小组的频率为0.1，这一小组频数为10，由此能求出A、B两组中皮肤疱疹面积同为[60，65）的这一区间应分别挑出4只、2只．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A，B两组中[60，65）这一区间上挑出的老鼠分别有4只、2只，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由A组频数分布表可知，
A组中[60，65）这一小组的频数为20，
由B组频率分布直方图可知，B组中[60，65）这一小组的频率为：
1-（0.05×5+0.04×5+0.06×5+0.03×5）=0.1，
所以这一小组频数为100×0.1=10，
由于是分层抽样，所以

20

100

×20=4，

20

100

×10=2，
即A、B两组中皮肤疱疹面积同为[60，65）的这一区间应分别挑出4只、2只．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A，B两组中[60，65）这一区间上挑出的老鼠分别有4只、2只，
ξ的可能取值为0，1，2，
P(ζ=0)=

C 2 4

C 2 6

=

6

15

，
P(ζ=1)=

C 1 4 C 1 2

C 2 6

=

8

15

，
P(ζ=2)=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，
∴ζ的分布列为

ζ	0	1	2
P	6 15	8 15	1 15

ζ的数学期望为E(ζ)=0×

6

15

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．

点评：本题考查频率分布表的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．