Question

设动点P在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上且不在x轴上，A₁、A₂是椭圆C的左、右顶点，直线PA₁、PA₂的斜率的积为-

1

4

，F（-

3

，0）为椭圆C的一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P在第一象限内，直线l过点P且与椭圆C只有一个公共点，l与圆C′：x²+y²=4相交于两点A、B，求△OAB的面积的最大值，及此时直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）求出c，再利用直线PA₁、PA₂的斜率的积为-

1

4

，求出a，b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）确定直线l的方程为x₀x+4y₀y-4=0，求出O到直线l的距离，可得面积，利用基本不等式求最值，从而可得直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵F（-

3

，0）为椭圆C的一个焦点，
∴c=

3

，
设P（x₀，y₀），则
∵直线PA₁、PA₂的斜率的积为-

1

4

，
∴

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=-

b2

a2

=-

1

4

，
∴a=2b，
∴b=1，a=2，
∴椭圆C的方程

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）在第一象限内椭圆C可以改写为y=

1

2

4-x2

（0＜x＜2），
∴y′=-

x

2 4-x2

，
∴直线l的斜率为k=-

x0

4y0

，方程为y-y₀=-

x0

4y0

（x-x₀），即x₀x+4y₀y-4=0
∵O到直线l的距离d=

4

4+12y02

（0＜y₀＜1），
∴1＜d＜2，
∴S_△OAB=

1

2

|AB|d=

4-d2

•d≤

4-d2+d2

2

=2，
当且仅当4-d²=d²，即d=

2

时，△OAB的面积的最大值为2，
由d=

4

4+12y02

=

2

，解得y₀=

3

3

，x₀=

2 6

3

，
∴直线l的方程为x+

2

y-

6

=0．

点评：本题考查椭圆方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．