Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，DC=4，∠DAB=60°，侧面△PAD和△PAB均为边长为2的正三角形，M为线段PC的中点．
（Ⅰ）求证：PD⊥AB；
（Ⅱ）求二面角P-BC-D的平面角的正切值；
（Ⅲ）试问：在线段AB上是否存在点N，使得MN与平面PDB的交点恰好是△PDB的重心？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取A．B中点Q，连结DQ，PQ，由已知得AB⊥DQ，AB⊥PQ，由此能证明AB⊥PD．
（2）过P作PO⊥平面ABD于O，PE⊥CB交CB的延长线于E，连结OE，连结AO并延长交BD于F，由已知得∠PEO为二面角P-BC-D的平面角，由此能求出二面角P-BC-D的平面角的正切值．
（3）取PD的中点K，连结BK，MK，则KM平行且等于AB，四边形ABMK为平行四边形，取△PBD的重心G，连结MG并延长交BA于N，由此能示出不存在点N，使得MN与平面PDB的交点恰好是△PDB的重心．

解答： （1）证明：取AB中点Q，连结DQ，PQ，
∵AD=BD，∴AB⊥DQ，
同理AB⊥PQ，∴AB⊥平面PDQ，
∴AB⊥PD．…（4分）
（2）解：过P作PO⊥平面ABD于O，
PE⊥CB交CB的延长线于E，连结OE，
连结AO并延长交BD于F，
则BC⊥OE，
∴∠PEO为二面角P-BC-D的平面角，…（6分）
OE=BF=1，AF=

3

，AO=

2 3

3

，PO=

2 6

3

，
tan∠POE=

2 6 3

1

=

2 6

3

．…（9分）
（3）解：取PD的中点K，连结BK，MK，
则KM平行且等于AB，四边形ABMK为平行四边形
取△PBD的重心G，连结MG并延长交BA于N，
则

KM

BN

=

KG

GB

=

1

2

，
BN=2KM=4
∴点N在BA的延长线上，且AN=2，
∴不存在点N，使得MN与平面PDB的交点恰好是△PDB的重心．…（15分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查角的正切值的求法，考查三角形重心的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．