Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项a_n的表达式．
（2）记b_n=a_n+1，T_n=

1≤i≤j≤n

b_ib_j（i，j∈N^*），证明：

1

7

≤

T1

T2

+

T1•T3

T2•T4

+…+

T1•T3…T2n-1

T2•T4…T2n

＜

4

21

（n∈N^*）（其中

1≤i≤j≤n

b_ib_j表示所有的积b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和）

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：（1）在数列递推式中取n=1求得首项，取n=n-1得另一递推式，作差后得到等比数列{a_n+1}，求得其通项公式后得到数列{a_n}的通项；
（2）把数列{a_n}的通项代入b_n=a_n+1，写出T_n=

1≤i≤j≤n

b_ib_j（i，j∈N^*），利用等比数列求和后借助于放缩法证明数列不等式

1

7

≤

T1

T2

+

T1•T3

T2•T4

+…+

T1•T3…T2n-1

T2•T4…T2n

＜

4

21

．

解答： （1）解：由S_n=2a_n-n①．
令n=1，则S₁=2a₁-1，即a₁=2a₁-1，
∴a₁=1．
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-（n-1）②．
①-②得a_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1，
则a_n+1=2（a_n-1+1），
∴an+1=2n，
∴an=2n-1；
（2）证明：bn=an+1=2n，
则Tn=

1≤i≤j≤n

bibj=

1

2

[(b1+b2+…+bn)2+(b12+b22+…+bn2)]
=

1

2

[(2+22+…+2n)2+(22+24+26+…+22n)]
=

1

2

[(2n+1-2)2+

4

3

(4n-1)]=

4

3

(2n-1)(2n+1-1)(n∈N*)．
令cn=

T1•T3…T2n-1

T2•T4…T2n

．
则当n≥2时，cn=

(21-1)(22-1)

(22-1)(23-1)

•

(23-1)(24-1)

(24-1)(25-1)

…

(22n-1-1)(22n-1)

(22n-1)(22n+1-1)

=

21-1

22n+1-1

=

1

22n+1-1

=

1

4

•

1

22n+1- 1 4

＜

1

4

•

1

22n+1-1

=

1

4

cn-1＜(

1

4

)n-1c1，
又c1=

1

23-1

=

1

7

＜

4

21

，
∴对一切n∈N^*有：

T1

T2

+

T1•T3

T2•T4

+…+

T1•T3…T2n-1

T2•T4…T2n

=c₁+c₂+…c_n＜c1+

1

4

c1+(

1

4

)2c1+…(

1

4

)n-1c1
=c1•

1-( 1 4 )n

1- 1 4

=

4

21

(1-(

1

4

)n)＜

4

21

．
另一方面c_n＞0恒成立，
∴对一切n∈N^*有：

T1

T2

+

T1•T3

T2•T4

+…+

T1•T3…T2n-1

T2•T4…T2n

=c₁+c₂+…c_n≥c1=

1

7

．
综上：

1

7

≤

T1

T2

+

T1•T3

T2•T4

+…+

T1•T3…T2n-1

T2•T4…T2n

＜

4

21

(n∈N*)．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了数列的求和，训练了放缩法证明数列不等式，考查了学生的计算能力，是压轴题．