Question

已知函数f（x）=

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x³-a²x（a＞0）
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）设g（x）=

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x²，若函数F（x）=f（x）-g（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求f′（x），根据已知条件知：f′（1）=0，这样即可求出a，从而求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f′（x），根据f′（x）的符号，判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，讨论a的取值，从而判断f（x）在[0，1]上的单调性，根据单调性即可求出f（x）在[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）求F′（x）=x²-x-a²，根据已知条件知：x∈[2，+∞）时，F′（x）≥0恒成立，并且得到：a²≤x²-x，求函数x²-x在[2，+∞）上的最小值，即得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-a²；
∵f（x）在x=1处取得极值；
∴f′（1）=1-a²=0；
又a＞0
∴a=1；
∴f（x）=

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x3-x；
（Ⅱ）令f′（x）=x²-a²=0，得x=±a；
∴x∈[0，a）时，f′（x）＜0，即f（x）在[0，a）上单调递减；x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（a，+∞）上单调递增；
∴若0＜a＜1，则函数f（x）在[0，a）上单调递减，在（a，1]上单调递增，∴f（x）的最小值是f（a）=-

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a3；
若a≥1，则函数f（x）在[0，1]上单调递减，∴f（x）的最小值是f（1）=

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-a2；
（Ⅲ）F（x）=

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x3-

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2

x2-a2x，F′（x）=x²-x-a²；
∵F（x）在[2，+∞）上单调递增；
∴x∈[2，+∞）时，x²-x-a²≥0恒成立，即a²≤x²-x恒成立；
∵x2-x=(x-

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2

)2-

1

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在[2，+∞）上的最小值为2；
∴a²≤2，∴0＜a≤

2

；
∴a的取值范围为：(0，

2

]．

点评：考查极值的概念，根据函数导数符号判断函数单调性的方法，函数的最值及根据单调性求函数最值的方法，函数单调性和函数导数符号的关系．