Question

已知函数f（x）=alnx+（x-c）|x-c|，a＜0，c＞0．
（1）当a=-

3

4

，c=

1

4

时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当c=

a

2

+1时，若f（x）≥

1

4

对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥

1

4

对x∈（c，+∞）恒成立，则只需求出f（x）的最小值即可；

解答： 解：函数f（x）=

alnx+(x-c)2，x≥c alnx-(x-c)2，x＜c

，求导得f′（x）=

2x2-2cx+a x ，x≥c -2x2+2cx+a x ，x＜c

．
（1）当a=-

3

4

，c=

1

4

时，f′（x）=

8x2-2x-3 4x ，x≥ 1 4 -8x2+2x-3 4x ，x＜ 1 4

，
若x＜

1

4

，则f′（x）=

-8x2+2x-3

4x

＜0恒成立，
∴f（x）在（0，

1

4

）上单调减；
若x≥

1

4

，则f′（x）=

(2x+1)(4x-3)

4x

，令f′（x）=0，解得x=

3

4

或x=-

1

2

（舍），
当

1

4

≤x＜

3

4

时，f′（x）＜0，f（x）在[

1

4

，

3

4

）上单调减；
当x＞

3

4

时，f′（x）＞0，f（x）在（

3

4

，+∞）上单调增．
∴函数f（x）的单调减区间是（0，

3

4

），单调增区间是（

3

4

，+∞）． 
（2）当x＞c，c=

a

2

+1时，f′（x）=

(x-1)(2x-a)

x

，而c=

a

2

+1＜1，
∴当c＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（c，1）上单调减；
当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调增．
∴函数f（x）在（c，+∞）上的最小值为f（1）=

a2

4

，
∴

a2

4

≥

1

4

恒成立，解得a≤-1或a≥1，
又由c=

a

2

+1＞0，得a＞-2，
∴实数a的取值范围是（-2，-1]．

点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立转化为求函数的最值是解决本题的关键，是压轴题．