Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，三边a，b，c成等比数列．
（1）角A，B，C成等差数列，求sinAsinC的值；
（2）若c²=b²+2a²，求sinB．

Answer 1

考点：等比数列的通项公式,等差数列的通项公式,正弦定理

专题：等差数列与等比数列,解三角形

分析：（1）由等差中项的性质和内角和定理求得B=60°，再由等比中项的性质和正弦定理得sin²B=sinAsinC，再求出sinAsinC的值；
（2）把b²=ac代入c²=b²+2a²化简得c=2a，再得b²=2a²，由余弦定理先求出cosB，再由平方关系求出sinB．

解答： 解：（1）∵A、B、C成等差数列，
∴2B=A+C，又A+B+C=180°，则B=60°，
∵三边成等比数列，∴b²=ac，
由正弦定理得，sin²B=sinAsinC，
∴sinAsinC=

3

4

；
（2）由（1）得，b²=ac，代入c²=b²+2a²，
得2a²+ac-c²=0，即（2a-c）（a+c）=0，
由a+c＞0，得2a-c=0，则c=2a，
∴b²=2a²，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB
则2a²=a²+4a²-4a²cosB，得cosB=

3

4

，
∵0°＜A＜180°，
∴sinB=

1-cos2B

=

1- 9 16

=

7

4

．

点评：本题主要考查等差、等比数列的性质，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．