Question

已知函数f（x）=2sinxcosx-2cos²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,二倍角的余弦,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式，两角和、差的正弦函数，化简函数f（x）=2sinxcosx-2cos²x．为一个角的一个三角函数的形式，然后直接求出最小正周期，
（2）由x∈[0，

π

2

]求出2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，得到sin(2x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]，求出函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： （1）解：f（x）=2sinxcosx-2cos²x
=sin2x-（1+cos2x）
=sin2x-cos2x-1
=

2

sin(2x-

π

4

)-1
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
sin(2x-

π

4

)∈[-

2

2

，1]，
∴

2

sin(2x-

π

4

)-1∈[-2，

2

-2]
∴最大值为

2

-2，最小值-2．

点评：本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，考查计算能力，此类题目的解答，关键是基本的三角函数的性质的掌握熟练程度，是基础题．