Question

18．抛物线y=x²及其在x=1处切线和x轴围成的图形的面积为$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 利用导数求出切线方程，根据定积分的计算公式求得S=${∫}_{0}^{1}$x²dx=$\frac{1}{12}$．

解答 解：y'=2x，所以抛物线在x=1处切线斜率为2，切点（1，1），
故切线方程为y-1=2（x-1），即y=2x-1，切线交x轴于点$（{\frac{1}{2}，0}）$，
所以抛物线y=x²及其在x=1处切线和x轴围成的图形的面积为：
S=$\int_0^1{{x^2}dx}-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{3}{x^3}\left|\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.-\frac{1}{4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$，
故答案为：$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查利用导数法求函数的切线方程，利用定积分求围成图形的面积，属于基础题．