【题目】在平面直角坐标系中,动圆
经过点
并且与直线
相切,设动圆
圆心的轨迹为曲线
.
(1)如果直线过点(0,4),且和曲线
只有一个公共点,求直线
的方程;
(2)已知不经过原点的直线与曲线
相交于
、
两点,判断命题“如果
,那么直线
经过点
”是真命题还是假命题,并说明理由.
【答案】(1)直线的方程为
、
、
;(2)见解析
【解析】
(1)根据抛物线的定义,求得曲线C的方程,之后分直线的斜率存在与不存在两种情况,根据直线与抛物线有一个公共点,得出结果;
(2)根据图形的对称性,得出对应的定点在x轴上,设出直线的方程,利用韦达定理,根据向量垂直向量的数量积等于零,求得对应的结果.
(1)根据题意,可知曲线C的方程为,
①直线的斜率不存在,即
的方程为
,符合题意,
②直线的斜率存在,设
,
与抛物线方程联立得,
(ⅰ),符合题意,此时
的方程为
,
(ⅱ),则
,解得
,此时
的方程为
,
综上,符合题意的直线的方程为
、
、
;
(2)由图形的对称性,若直线过定点,则该定点必定落在
轴上,
设定点坐标为、
、
、
,
,则
,
∵,∴
,即
,
解得或
(舍),
∴命题为真命题.
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【题目】如图,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证:MN⊥CD;
(2)若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面PCD.
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【题目】已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)满足:对任意实数x,都有f(x)≥x,且当x∈(1,3)时,有f(x)≤ (x+2)2成立.
(1)证明:f(2)=2;
(2)若f(-2)=0,求f(x)的表达式;
(3)设g(x)=f(x)-x,x∈[0,+∞),若g(x)图象上的点都位于直线y=
的上方,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,在直角坐标系中,圆
与
轴负半轴交于点
,过点
的直线
,
分别与圆
交于
,
两点.
(1)若,
,求△
的面积;
(2)过点作圆O的两条切线,切点分别为E,F,求
;
(3)若,求证:直线
过定点.
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【题目】如图,已知四棱锥P-ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(I)证明:CE∥平面PAB;
(II)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值
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【题目】在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P是上底面A1B1C1D1内一动点,则三棱锥P-ABC的三视图的面积之和最大值为( )
A.6B.7C.8D.9
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【题目】某单位决定投资元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每
长造价
元,两侧墙砌砖,每
长造价
元,
(1)求该仓库面积的最大值;
(2)若为了使仓库防雨,需要为仓库做屋顶.顶部每造价
元,求仓库面积
的最大值,并求出此时正面铁栅应设计为多长?
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【题目】某市出租车收费标准如下:起步价元,起步历程为
(不超过
按起步价付费);超过
但不超过
,超过部分按每千米
元收费;超过
时,超过部分按每千米
元收费;另外每次乘坐需付燃油附加费
元.
(1)写出乘车费用(元)关于路程
(千米)的函数关系式;
(2)若某人一次出租车费用为31.15元,求此次出租车行驶了多少千米?
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