Question

【题目】已知双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点(4,6)．

(1)求双曲线方程；

(2)若双曲线的左，右焦点分别是F1，F2，试问在双曲线上是否存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|.请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在

【解析】

（1）由题得，解方程组即得双曲线方程；（2）假设在双曲线上存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|，则点P只能在右支上．先求出|PF1|＝5，|PF2|＝1，分析得到此种情况不存在.

(1)椭圆的焦点在x轴上，且，即焦点为(±4,0)，

于是可设双曲线方程为，

则有解得a2＝4，b2＝12，

故双曲线方程为.

(2)假设在双曲线上存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|，则点P只能在右支上．由于在双曲线中，由双曲线定义知，|PF1|-5|PF2|＝2a＝4，于是得|PF1|＝5，|PF2|＝1.

但当点P在双曲线右支上时，点P到左焦点F1的距离的最小值应为a＋c＝6，

故不可能有|PF1|＝5，即在双曲线上不存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|