Question

12．如图所示，在三棱锥ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为边长为6的等边三角形，点A₁在平面ABC内的射影为△ABC的中心．
（1）求证：BC⊥BB₁；
（2）若AA₁与底面ABC所成角为60°，P为CC₁的中点，求二面角B₁-PA-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）点A₁在底面△ABC内的射影为O，连结A₁O，取BC的中点E，连结AE，推导出A₁O⊥BC，AE⊥BC，从而BC⊥面A₁AO，进而BC⊥AA₁，由此能证明BC⊥BB₁．
（2）由（1）得A₁O，AO，BC两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B₁-PA-C的余弦值．

解答 证明：（1）点A₁在底面△ABC内的射影为O，连结A₁O，
取BC的中点E，连结AE，
∵A₁O⊥面ABC，BC?面ABC，∴A₁O⊥BC，
又∵AE⊥BC，AE∩A₁O=O，∴BC⊥面A₁AO，
∵AA₁?面A₁AO，∴BC⊥AA₁，
∵AA₁∥BB₁，∴BC⊥BB₁．
解：（2）由（1）得A₁O，AO，BC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵A₁O⊥面ABC，∴∠A₁AO为AA₁与底面ABC所成角，
∵AB=6，∴$AO=\frac{\sqrt{3}}{3}×6=2\sqrt{3}$，$OE=\sqrt{3}$，
由$\frac{{A}_{1}O}{AO}=\sqrt{3}$，得A₁O=6，
∴A（2$\sqrt{3}$，0，0），B（-$\sqrt{3}$，3，0），C（$-\sqrt{3}，-3，0$），A₁（0，0，6），
由$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，得C₁（-3$\sqrt{3}$，-3，6），
由$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$，得B₁（$-3\sqrt{3}，6，3$），∴P（-2$\sqrt{3}$，-3，3），
$\overrightarrow{AP}$=（-4$\sqrt{3}$，-3，3），$\overrightarrow{P{B}_{1}}$=（-$\sqrt{3}，6，3$），$\overrightarrow{AC}$=（-3$\sqrt{3}$，-3，0），
设平面PAB₁的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-4\sqrt{3}x-3y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{P{B}_{1}}=-\sqrt{3}x+6y+3z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，-1，3$），
设平面PAC的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=-4\sqrt{3}a-3b+3c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=-3\sqrt{3}a-3b=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}，-3，1$），
设二面角B₁-PA-C的平面角为θ，由图知θ为钝角，
则cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{9}{13}$．
∴二面角B₁-PA-C的余弦值为-$\frac{9}{13}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．